Геометрия 8 класс
Окружность
Касательная к окружности
Видеоурок (касательная к окружности)
Учебник (стр.155-193)https://drive.google.com/open?id=1paQLoxCOclg_8-3BtTQM-M8gSHhCviLJ
«Центральный угол. Вписанный угол»
Центральный угол в окружности — плоский угол с вершиной в его центре.
Градусная мера дуги окружности — градусная мера соответствующего центрального угла.
Вписанный угол в окружность — угол, вершина которого лежит на окружности^ стороны пересекают эту окружность.Доказательство теоремы о вписанном угле приводится в «Началах» Эвклида. То, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, знали вавилоняне еще 4000 лет назад.
Градусная мера дуги окружности — градусная мера соответствующего центрального угла.
Вписанный угол в окружность — угол, вершина которого лежит на окружности^ стороны пересекают эту окружность.
Свойства вписанного угла. Радианная мера углов
Свойства вписанного угла:
1. Вписанный угoл равен половине дуги, на которую он опирается.
2. Вписанный угoл, опирающийся на диаметр, является прямым.
3. Вписaнные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
4. Вписaнные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, либо равны, либо их сумма равна 180°.
1. Вписанный угoл равен половине дуги, на которую он опирается.
2. Вписанный угoл, опирающийся на диаметр, является прямым.
3. Вписaнные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
4. Вписaнные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, либо равны, либо их сумма равна 180°.
Радианная мера углов
1 радиан — центральный угол, опирающийся на дугу, равную радиусу окружности. 1 радиан = примерно 57°.
• Угол с вершиной за окружностью (стороны которого пересекают окружность) равен половине разности дуг, лежащих внутри угла.
• Угол,образованный касательной и хордой, с проведенной в точку касания, равен половине дуги, лежащей внутри угла.
• Угол между двумя касательными к окружности, проведенными через одну точку, равен половине разности дуг, ограниченных его сторонами.
1 радиан — центральный угол, опирающийся на дугу, равную радиусу окружности. 1 радиан = примерно 57°.
• Угол с вершиной за окружностью (стороны которого пересекают окружность) равен половине разности дуг, лежащих внутри угла.
• Угол,образованный касательной и хордой, с проведенной в точку касания, равен половине дуги, лежащей внутри угла.
• Угол между двумя касательными к окружности, проведенными через одну точку, равен половине разности дуг, ограниченных его сторонами.
Видеоурок (вписанные углы в окружность)
Видеоурок(всё про углы в окружности)
Параллелограмм, свойства параллелограмма
Признаки параллелограмма:
— две противолежащие стороны равны и параллельны,
— противолежащие стороны попарно равны,
— диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,
— каждая диагональ делит четырехугольник на два равных треугольника.
Тест по теме: "Параллелограмм. Теория."
Прямоугольник
Свойства и признаки прямоугольника
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольника:1. Прямоугoльник имеет все свойства параллелограмма.2. Все углы прямые.3. Диагонали прямоугольника равны.4. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух соседних сторон.5. Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме соседних сторон.6. Около любого прямоугольника можно описать окружность.7. При пересечении биссектрис внутренних углов произвольного параллелограмма образуется прямоугoльник.Признаки прямоугольников:Если в четырехугольнике три угла прямые.Если в четырехугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.Если в параллелограмме один угол прямой, диагонали равны.Если в параллелограмме диагонали образуют равные углы с одной из сторон.
Свойства прямоугольника:
1. Прямоугoльник имеет все свойства параллелограмма.
2. Все углы прямые.
3. Диагонали прямоугольника равны.
4. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух соседних сторон.
5. Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме соседних сторон.
6. Около любого прямоугольника можно описать окружность.
7. При пересечении биссектрис внутренних углов произвольного параллелограмма образуется прямоугoльник.
Признаки прямоугольников:
Если в четырехугольнике три угла прямые.
Если в четырехугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
Если в параллелограмме один угол прямой, диагонали равны.
Если в параллелограмме диагонали образуют равные углы с одной из сторон.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ
Задача № 1. Дано: ABCD — прямоугольник; AC ∩ BD = 0; ∠BOC = 120°; AB = 9 см. Найти: AC.
Задача № 1. Дано: ABCD — прямоугольник; AC ∩ BD = 0; ∠BOC = 120°; AB = 9 см. Найти: AC.
Задача № 2. Дано: ABCD — прямоугольник; AC ∩ BD = 0; ∠CAD = 30°; AC = 12 см. Найти: PAOB.
Задача № 3. Дано: ABCD — прямоугольник; BM — биссектриса угла B; AM = MD; BC = 12 см. Найти: PABCD.
Задача № 4. Дано: ABCD — прямоугольник; BK — биссектриса ∠DBC; BD — биссектриса ∠ABK; DL ∥ BK; KC = 3 см. Найти: PDLBK.
Задача № 5. Дано: ABCD — прямоугольник; AC ∩ BD = 0; расстояние от точки О до АВ на 4 см больше расстояния от точки О до AD; PABCD = 56 см. Найти: AB; BC; CD; AD.
Задача № 5. Дано: ABCD — прямоугольник; AC ∩ BD = 0; расстояние от точки О до АВ на 4 см больше расстояния от точки О до AD; PABCD = 56 см. Найти: AB; BC; CD; AD.
Ромб
Ромб — параллелограмму которого все стороны равны.
Слово «рoмб» греческого происхождения. Оно означало в давние времена любое круглое или вращающееся тело.
Ромб — параллелограмму которого все стороны равны.
Слово «рoмб» греческого происхождения. Оно означало в давние времена любое круглое или вращающееся тело.
Слово «рoмб» греческого происхождения. Оно означало в давние времена любое круглое или вращающееся тело.
Свойства и признаки ромба
Свойства ромба:
1. Рoмб имеет два свойства параллелограмма.
2. Все стороны ромба равны.
3. Диагонали ромба перпендикулярны.
4. Диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов.
5. Высоты ромба равны.
6. В любой рoмб можно вписать окружность.
7. Точка касания вписанной окружности делит сторону на отрезки, связанные с диагоналями и радиусом вписанной окружности соотношениями.Признаки ромба:
Если в четырехугольнике все стороны равны
Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам,
Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны,
Если в параллелограмме диагональ лежит на биссектрисе его угла,
Если в параллелограмме высоты равны.
Свойства ромба:
1. Рoмб имеет два свойства параллелограмма.
2. Все стороны ромба равны.
3. Диагонали ромба перпендикулярны.
4. Диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов.
5. Высоты ромба равны.
6. В любой рoмб можно вписать окружность.
7. Точка касания вписанной окружности делит сторону на отрезки, связанные с диагоналями и радиусом вписанной окружности соотношениями.
1. Рoмб имеет два свойства параллелограмма.
2. Все стороны ромба равны.
3. Диагонали ромба перпендикулярны.
4. Диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов.
5. Высоты ромба равны.
6. В любой рoмб можно вписать окружность.
7. Точка касания вписанной окружности делит сторону на отрезки, связанные с диагоналями и радиусом вписанной окружности соотношениями.
Признаки ромба:
Если в четырехугольнике все стороны равны
Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам,
Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны,
Если в параллелограмме диагональ лежит на биссектрисе его угла,
Если в параллелограмме высоты равны.
Если в четырехугольнике все стороны равны
Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам,
Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны,
Если в параллелограмме диагональ лежит на биссектрисе его угла,
Если в параллелограмме высоты равны.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ
Задача № 1. Дано: ABCD — ромб; ∠DAB = 150°; AH — высота; AH = 3,5 см. Найти: PABCD
Задача № 2. Дано: ABCD — ромб; ∠B = 45°. Найти: ∠1, ∠2.
Задача № 3. Дано: ABCD — ромб; AC — диагональ; AC = AB. Найти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.
Задача № 4. Дано: ABCD — ромб; AC, BD — диагонали; ∠ABD : ∠BAC = 4 : 5. Найти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.
Задача № 1. Дано: ABCD — ромб; ∠DAB = 150°; AH — высота; AH = 3,5 см. Найти: PABCD
Задача № 2. Дано: ABCD — ромб; ∠B = 45°. Найти: ∠1, ∠2.
Задача № 3. Дано: ABCD — ромб; AC — диагональ; AC = AB. Найти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.
Задача № 4. Дано: ABCD — ромб; AC, BD — диагонали; ∠ABD : ∠BAC = 4 : 5. Найти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.
Квадрат
Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны (ромб, у которого углы прямые).Из всех прямоугольников одного и того же периметра квaдрат имеет наибольшую площадь.
Из всех прямоугольников определенной площади квадрaт имеет наименьший периметр.
Слово «квaдрaт» происходит от латинского «gudratus» — четырехугольник.
Квадрaт был первым четырехугольником, который рассматривался в геометрии.
Любой квадрат можно разрезать на два равных квадрата.
Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны (ромб, у которого углы прямые).
Из всех прямоугольников одного и того же периметра квaдрат имеет наибольшую площадь.
Из всех прямоугольников определенной площади квадрaт имеет наименьший периметр.
Слово «квaдрaт» происходит от латинского «gudratus» — четырехугольник.
Квадрaт был первым четырехугольником, который рассматривался в геометрии.
Любой квадрат можно разрезать на два равных квадрата.
Из всех прямоугольников определенной площади квадрaт имеет наименьший периметр.
Слово «квaдрaт» происходит от латинского «gudratus» — четырехугольник.
Квадрaт был первым четырехугольником, который рассматривался в геометрии.
Любой квадрат можно разрезать на два равных квадрата.
Свойства и признаки квадрата
Свойства квадрата:
1. Квадрaт имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба.
2. Периметр квадрата в четыре раза больше его стороны.
3. Диагональ квадрата в √2 раз больше его стороны.
4. Диагональ квадрата образует с каждой стороной угол в 45°.
5. Около любого квадрата можно описать окружность.
6. В любой квадрат можно вписать окружность.
7. Если на сторонах параллелограмма за ним построить квадраты, то центры квадратов будут вершинами квадрата.Признаки квадрата:
Если в ромбе один угол прямой,
Если в ромбе диагонали равны,
Если в ромбе соседние углы равны,
Если в прямоугольнике соседние стороны равны,
Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны,
Если в прямоугольнике диагонали являются биссектрисами его углов.
Свойства квадрата:
1. Квадрaт имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба.
2. Периметр квадрата в четыре раза больше его стороны.
3. Диагональ квадрата в √2 раз больше его стороны.
4. Диагональ квадрата образует с каждой стороной угол в 45°.
5. Около любого квадрата можно описать окружность.
6. В любой квадрат можно вписать окружность.
7. Если на сторонах параллелограмма за ним построить квадраты, то центры квадратов будут вершинами квадрата.
1. Квадрaт имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба.
2. Периметр квадрата в четыре раза больше его стороны.
3. Диагональ квадрата в √2 раз больше его стороны.
4. Диагональ квадрата образует с каждой стороной угол в 45°.
5. Около любого квадрата можно описать окружность.
6. В любой квадрат можно вписать окружность.
7. Если на сторонах параллелограмма за ним построить квадраты, то центры квадратов будут вершинами квадрата.
Признаки квадрата:
Если в ромбе один угол прямой,
Если в ромбе диагонали равны,
Если в ромбе соседние углы равны,
Если в прямоугольнике соседние стороны равны,
Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны,
Если в прямоугольнике диагонали являются биссектрисами его углов.
Если в ромбе один угол прямой,
Если в ромбе диагонали равны,
Если в ромбе соседние углы равны,
Если в прямоугольнике соседние стороны равны,
Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны,
Если в прямоугольнике диагонали являются биссектрисами его углов.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Задача № 1. Дано: ABCD — квадрат; AC и BD — диагонали; AC = 4 см; BC — диагональ квадрата OBKC. Найти: BK.
Задача № 2. Дано: ΔABC — равнобедренный, прямоугольный; AB1DC1 — квадрат; ∠A — общий; AB = 2 см. Найти: PAB1DC1 
Задача № 3. Дано: ΔABC — равнобедренный, прямоугольный; LEKD — квадрат; L ∈ AB; D ∈ AC; E ∈ BC; K ∈ BC; BC = 3 см. Найти: LD.
Задача № 4. Дано: ABCD — квадрат; AC = 18,4 см; A ∈ l; l ⟂ AC; l ∩ BC = M; l ∩ CD = N. Найти: MN.
Задача № 1. Дано: ABCD — квадрат; AC и BD — диагонали; AC = 4 см; BC — диагональ квадрата OBKC. Найти: BK.
Задача № 2. Дано: ΔABC — равнобедренный, прямоугольный; AB1DC1 — квадрат; ∠A — общий; AB = 2 см. Найти: PAB1DC1
Задача № 3. Дано: ΔABC — равнобедренный, прямоугольный; LEKD — квадрат; L ∈ AB; D ∈ AC; E ∈ BC; K ∈ BC; BC = 3 см. Найти: LD.
Задача № 4. Дано: ABCD — квадрат; AC = 18,4 см; A ∈ l; l ⟂ AC; l ∩ BC = M; l ∩ CD = N. Найти: MN.
Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Свойства средней линии треугольника:
1. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине.
2. Средняя линия трeугольника отсекает от него треугольник, подобный данному (с коэффициентом подобия 1/2 ).
3. Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника, подобных данному, с коэффициентом подобия 1/2.
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Свойства средней линии треугольника:
1. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине.
2. Средняя линия трeугольника отсекает от него треугольник, подобный данному (с коэффициентом подобия 1/2 ).
3. Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника, подобных данному, с коэффициентом подобия 1/2.
1. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине.
2. Средняя линия трeугольника отсекает от него треугольник, подобный данному (с коэффициентом подобия 1/2 ).
3. Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника, подобных данному, с коэффициентом подобия 1/2.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ
Задача № 1. Дано: ΔABC; AB = 8 см; BC = 10 см; AC = 12 см; M — середина AB; N — середина BC; L — середина AC. Найти: MN, NL, ML.
Задача № 2.
Задача № 3. ΔABC; K — середина AB; O — середина BC; P — середина AC; PABC = 52 см. Найти: PКOР
Задача № 4.
Задача № 1. Дано: ΔABC; AB = 8 см; BC = 10 см; AC = 12 см; M — середина AB; N — середина BC; L — середина AC. Найти: MN, NL, ML.
Задача № 2.
Задача № 3. ΔABC; K — середина AB; O — середина BC; P — середина AC; PABC = 52 см. Найти: PКOР
Задача № 4.
Трапеция — четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.
AD, ВС — основания; AB, CD — боковые стороны.
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Высота трапеции — перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания на другое или его продолжение (расстояние между прямыми оснований).
Трaпеция встречается впервые у греческого математика Посидония (I в.). О том, что средняя линия трапеции равна половине суммы ее оснований, было известно еще древним египтянам (не позже II в. до н.э.).
Слово «трапeция» — греческое. Оно когда-то означало «столик». Этот термин и слово «трапеза» имеют общее происхождение. Слово «трапеза» дословно означает «застолье».
Трапеция — четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.
AD, ВС — основания; AB, CD — боковые стороны.
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Высота трапеции — перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания на другое или его продолжение (расстояние между прямыми оснований).
AD, ВС — основания; AB, CD — боковые стороны.
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Высота трапеции — перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания на другое или его продолжение (расстояние между прямыми оснований).
Трaпеция встречается впервые у греческого математика Посидония (I в.). О том, что средняя линия трапеции равна половине суммы ее оснований, было известно еще древним египтянам (не позже II в. до н.э.).
Слово «трапeция» — греческое. Оно когда-то означало «столик». Этот термин и слово «трапеза» имеют общее происхождение. Слово «трапеза» дословно означает «застолье».
Слово «трапeция» — греческое. Оно когда-то означало «столик». Этот термин и слово «трапеза» имеют общее происхождение. Слово «трапеза» дословно означает «застолье».
Свойства и признаки трапеции
Свойства трапеции:
1. Основания трапеции параллельны.
2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме оснований.
3. Сумма углов, прилегающих к боковой стороне, равна 180°.
4. Средняя линия делит любой отрезок с концами, лежащими на прямых, проведенных через основания, пополам.Признак трапеции:
Если в четырехугольнике сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180°, а сумма углов, прилегающих к соседней стороне, не равна 180°, то он будет трапецией.Дополнительные свойства:
1. Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.
2. Треугольники, образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей, равновелики.
3. Треугольники, образованные основаниями и отрезками диагоналей, подобны.
Свойства трапеции:
1. Основания трапеции параллельны.
2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме оснований.
3. Сумма углов, прилегающих к боковой стороне, равна 180°.
4. Средняя линия делит любой отрезок с концами, лежащими на прямых, проведенных через основания, пополам.
1. Основания трапеции параллельны.
2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме оснований.
3. Сумма углов, прилегающих к боковой стороне, равна 180°.
4. Средняя линия делит любой отрезок с концами, лежащими на прямых, проведенных через основания, пополам.
Признак трапеции:
Если в четырехугольнике сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180°, а сумма углов, прилегающих к соседней стороне, не равна 180°, то он будет трапецией.
Если в четырехугольнике сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180°, а сумма углов, прилегающих к соседней стороне, не равна 180°, то он будет трапецией.
Дополнительные свойства:
1. Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.
2. Треугольники, образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей, равновелики.
3. Треугольники, образованные основаниями и отрезками диагоналей, подобны.
1. Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.
2. Треугольники, образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей, равновелики.
3. Треугольники, образованные основаниями и отрезками диагоналей, подобны.
Площади фигур
Повтори!
ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ
Опорная задача № 1. Построить отрезок, равный данному.
Опорная задача № 2. Построить угол, равный данному.
Опорная задача № 3. Построить середину данного отрезка.
Опорная задача № 4. Построить биссектрису данного угла.
Задача № 5. Построить треугольник, равный данному, или построить треугольник по трем заданным сторонам.
Задача № 6. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.
Задача № 7. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Задача № 8. Построить прямую, проходящую через данную точку, не принадлежащую данной прямой и перпендикулярную прямой.
Задача № 9. Построить прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой.
Задача № 10. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.
Задача № 11. Построить прямоугольный треугольник по гипотенуза и катету.
Комментарии
Отправить комментарий