Математика 6 класс

Проценты
Проценты-это одна из сложнейших тем математики. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты, необходимы для каждого человека,так как с процентами мы сталкиваемся часто в повседневной жизни.

Проце́нт (нем. Prozent, от новолат. per centum «на сотню; сотая») — сотая часть; обозначается знаком «%»; используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому. Например, 17 % от 500 кг означает 17 частей по 5 кг каждая, то есть 85 кг. Справедливо также утверждение, что 200 % от 500 кг является 1000 кг, поскольку 1 % от 500 кг равен 5 кг, и 5 × 200 = 1000.

Это интересно!

Происхождение

В Древнем Риме, задолго до существования десятичной системы счисления, вычисления часто производились с помощью дробей, которые были кратны 1/100. Например, Октавиан Август взимал налог в размере 1/100 на товары, реализовавшиеся на аукционе, это было известно как лат. centesima rerum venalium (сотая доля продаваемых вещей). Подобные расчёты были похожи на вычисление процентов.

При деноминации валюты в средние века вычисления со знаменателем 100 стали более привычными, а с конца XV века до начала XVI века данный метод расчёта стал повсеместно использоваться, судя по содержанию изученных материалов, содержащих арифметические вычисления. Во многих из этих материалов данный метод применялся для расчёта прибыли и убытка, процентных ставок, а также в «тройном правиле». В XVII веке данная форма вычислений стала стандартом для представления процентных ставок в сотых долях.

В России понятие процента впервые ввёл Пётр I. Но считается, что подобные вычисления начали применяться в Смутное время, как результат первой в мировой истории привязки чеканных монет 1 к 100, когда рубль сначала состоял из 10 гривенников, а позже из 100 копеек

Разговорное употребление

• «Работать за проценты» — работать за вознаграждение, исчисляемое в зависимости от прибыли или оборота.
• «Процентщик» — человек, ссужающий деньги под большие проценты, ростовщик.

Проценты

                                        

  Задачи на проценты

                                                                                               

Тест на проценты 1

Тест на проценты 2

Тест на проценты 3

Игра на проценты

"Ещё раз про проценты"

Пропорции

«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень».

 Иоганн Кеплер

Пропо́рция (лат. proportio «соразмерность, выравненность частей; определённое соотношение частей между собой») — равенство отношений двух [и более] пар чисел  и , т. е. равенство вида , или, в других обозначениях, равенство  (часто читается как: « относится к  так же, как  относится к »). В этом случае  и  называют крайними,  и  — средними членами пропорции.

Основные свойства пропорций

• Обращение пропорции. Если ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$, то ${\displaystyle \ {\frac {b}{a}}={\frac {d}{c}}}$
• Перемножение крайних членов пропорции со средними (крест-накрест). Если ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$, то ${\displaystyle \ ad=bc}$
• Перестановка средних и крайних членов. Если ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$, то

${\displaystyle \ {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}}$    (перестановка средних членов пропорции),

${\displaystyle \ {\frac {d}{b}}={\frac {c}{a}}}$    (перестановка крайних членов пропорции).

• Увеличение и уменьшение пропорции. Если ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$, то

${\displaystyle \ {\dfrac {a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}}}$    (увеличение пропорции),

${\displaystyle \ {\dfrac {a-b}{b}}={\dfrac {c-d}{d}}}$    (уменьшение пропорции).

• Составление пропорции сложением и вычитанием. Если ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$, то

${\displaystyle \ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$    (составление пропорции сложением),

${\displaystyle \ {\dfrac {a-c}{b-d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$    (составление пропорции вычитанием).

Доказательство (составление пропорции сложением и вычитанием)

Докажем для сложения. Выразим ${\displaystyle c}$ через остальные члены пропорции: ${\displaystyle c={\frac {ad}{b}}}$. Тогда:

${\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a+ad/b}{b+d}}={\frac {(ab+ad)/b}{b+d}}={\frac {a(b+d)}{b(b+d)}}={\frac {a}{b}}.}$

Для вычитания доказательство аналогично. ■

Пропорции

                                                                                                         

Это интересно!

Если у геометрической пропорции средние члены равны, а последний является разницей между первым и средним, такая пропорция называется гармонической: ${\displaystyle a:b=b:(a-b)}$. В этом случае, разложение ${\displaystyle a}$ на сумму двух слагаемых ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle a-b}$ называется гармоническим делением или золотым сечением

Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление) — соотношение двух величин ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, при котором бо́льшая величина относится к меньшей так же как сумма величин к бо́льшей, то есть: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}.}$ Исторически изначально в древнегреческой математике золотым сечением именовалось деление отрезка ${\displaystyle AB}$ точкой ${\displaystyle C}$ на две части так, что бо́льшая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей: ${\displaystyle {\frac {BC}{AC}}={\frac {AB}{BC}}}$. 

Золотое сечение - Смешарики.

                                                                                                                   

Золотая спираль Фибоначчи

Числа Фибоначчи и тайна Золотого сечения

Масштаб

Ментальная арифметика

соробан

соробан 2

соробан 3

соробан 7

Удивительные люди