Материал единого информационного-образовательного ресурса

Квадратные неравенства

Неравенство вида (и приводимое к этому виду): или , содержащее квадратную функцию от неизвестного, называется квадратным неравенством (или неравенством второй степени с одним неизвестным).
Любое квадратное неравенство можно свести к виду , .
Рассмотрим решение этого неравенства с помощью графика квадратной функции , которую обозначим через . Решение сведется к нахождению тех значений , при которых функция  положительна, т.е. парабола (или часть ее) расположена выше оси абсцисс. Возьмем различные значения дискриминанта .
1.  корни многочлена  мнимые, парабола не имеет общих точек с осью  и вся она расположена:
а) выше этой оси при  и решениями неравенства будут все действительные значения ;
б) ниже этой оси при  и неравенство не имеет решений (при всех , а нужно ;).
2. , корни действительные равные, парабола касается оси  при значении корня , а все остальные точки параболы лежат:
а) выше оси  при  и решениями неравенства будут все значения  кроме ;
б) ниже оси  при  и неравенство не имеет решений (при , , а при всех остальных значениях ;).
3. , корни действительные и разные (пусть ), парабола пересекает ось  при значениях  и  поэтому:
а) если , то выше оси  расположены части параболы, соответствующие значениям  и , которые и дают решения неравенства;
б) если , то выше оси  расположена часть параболы, соответствующая значениям , которые и являются решениями неравенства.
Схема решения квадратного неравенства такова:
1) Приводим неравенство к нормальной форме (раскрываем скобки; освобождаемся от знаменателей, если знаки их известны; переносим все члены в левую часть; приводим подобные члены).
2) Вычисляем дискриминант  квадратного многочлена, стоящего в левой части неравенства, и действительные корни многочлена (при  ) .
3) Если знак неравенства будет , то умножаем обе части его на  и меняем знак на . Дискриминант и корни от этого не изменятся.
4) Учитывая знак коэффициента  и значения действительных корней (если они есть), записываем решение квадратного неравенства.
Тест

Системы и совокупности

квадратных неравенств

Тест 1

Тест 2

Тест 3

Квадратные корни

Арифметический квадратный корень

Иррациональные числа. Действительные числа

Свойства квадратных корней

Квадратные корни. Свойства квадратных корней

Викторина по теме: Квадратные корни.

Числовые промежутки

Квадратные уравнения

Тест по теме "Типы уравнений"

Тест 1 по теме "Неполные квадратные уравнения"

Тест 2 по теме "Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение – коротко о главном

Определения

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax2+bx+c=0, где x – неизвестное, a, b – коэффициенты квадратного уравнения, c – свободный член.

Полное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициенты a, b, c не равны нулю.

Приведенное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент a=1, то есть: x2+bx+c=0.

Неполное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент b и/или свободный член c равны нулю:

Алгоритм решения неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение вида ax2+c=0, где a≠0, c≠0:

1) Выразим неизвестное: x2=−ca,

2) Проверяем знак выражения −ca:

если −ca<0, то уравнение не имеет решений,
если −ca>0, то уравнение имеет два корня x=(−ca)−−−−−√.

Неполное квадратное уравнение вида ax2+bx=0, где a≠0, b≠0:

1) Вынесем общим множитель x за скобки: x(ax+b)=0,

2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня: [x=0,ax+b=0,⇔[x=0,x=−ba.

Неполное квадратное уравнение вида ax2=0, где a≠0:

Данное уравнение всегда имеет только один корень: x=0.

Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида ax2+bx+c=0, где a,b,c≠0

Решение с помощью дискриминанта

1) Приведем уравнение к стандартному виду: ax2+bx+c=0,

2) Вычислим дискриминант по формуле: D=b2−4ac, который указывает на количество корней уравнения:

3) Найдем корни уравнения:

если D>0, то уравнение имеет 2 корня, которые находятся по формуле: x=−b±D−−√2a⇒⎧⎩⎨x1=−b+D√2ax2=−b−D√2a
если D=0, то уравнение имеет 1 корень, который находится по формуле: x=−b2a
если D<0, то уравнение не имеет корней.

Решение с помощью теоремы Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида x2+bx+c=0, где a=1) равна −b, а произведение корней равно c, т.е. x1+x2=−b, а x1⋅x2=c.

Решение методом выделения полного квадрата

Если квадратное уравнение вида ax2+bx+c=0 имеет корни x1,x2, то его можно записать в виде : a⋅(x− x1)(x−x2).

Решение квадратных уравнений

Итак, теперь приступим к решению квадратного уравнения. Допустим, тебе нужно найти корни у этого уравнения:

x2+2x−8=0

Конечно, ты можешь сейчас начать считать через дискриминант, либо по теореме Виета, но многие на нервах ошибаются при умножении или возведении в квадрат, особенно, если пример с большими числами, а калькулятора, как ты знаешь, у тебя на экзамене не будет…

Поэтому давай попробуем немного расслабиться и порисовать, решая данное уравнение.

Графически найти решения данного уравнения можно различными способами. Рассмотрим различные варианты, а уже ты сам выберешь, какой больше всего тебе понравится.

Вариант 1. Напрямую

Просто строим параболу по данному уравнению: x2+2x−8=0

Чтобы сделать это быстро, дам тебе одну маленькую подсказку: удобно начать построение с определения вершины параболы. Определить координаты вершины параболы помогут следующие формулы:

x=−b2a

y=−b2−4ac4a

Ты скажешь «Стоп! Формула для y очень похожа на формулу нахождения дискриминанта» да, так оно и есть, и это является огромным минусом «прямого» построения параболы, чтобы найти ее корни.

Тем не менее, давай досчитаем до конца, а потом я покажу, как это сделать намного (намного!) проще!

Посчитал? Какие координаты вершины параболы у тебя получились? Давай разбираться вместе:

x=−22=−1

y=−22−4⋅(−8)4=−4+324=−9

Точно такой же ответ? Молодец!

И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, 3.

Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:

Соответственно, нам необходимо еще две точки по левой или правой ветви параболы, а в дальнейшем мы эти точки симметрично отразим на противоположную сторону:

Возвращаемся к нашей параболе.

Для нашего случая точка A(−1;−9). Нам необходимо еще две точки, соответственно, x можно взять положительные, а можно взять отрицательные? Какие точки тебе удобней?

Мне удобней работать с положительными, поэтому я рассчитаю при x=0 и x=2.

При x=0:

y=02+0−8=−8

При x=2:

y=22+2⋅2−8=0

Теперь у нас есть три точки, и мы спокойно можем построить нашу параболу, отразив две последние точки относительно ее вершины:

Как ты думаешь, что является решением уравнения?

Правильно, точки, в которых y=0, то есть x=2 и x=−4. Потому что x2+2x−8=0.

И если мы говорим, что y=x2+2x−8, то значит, что y тоже должен быть равен 0, или y=x2+2x−8=0.

Просто? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет!

Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем – посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант.

Что у тебя получилось? То же самое?

Вот видишь! Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится!

Вариант 2. С разбивкой на несколько функций

Возьмем все тоже наше уравнение: x2+2x−8=0, но запишем его несколько по-другому, а именно:

x2=8−2x

Можем мы так записать? Можем, так как преобразование равносильно. Смотрим дальше.

Построим отдельно две функции:

y1=x2 – графиком является простая парабола, которую ты с легкостью построишь даже без определения вершины с помощью формул и составления таблицы для определения прочих точек.
y2=8−2x – графиком является прямая, которую ты так же легко построишь, прикинув значения x и y в голове, даже не прибегая к калькулятору.

Построил? Сравним с тем, что вышло у меня:

Как ты считаешь, что в данном случае является корнями уравнения? Правильно! Координаты по

x, которые получились при пересечении двух графиков:

y1=x2 и

y2=8−2x, то есть:

Соответственно, решением данного уравнения являются:

x1=2

x2=−4

Что скажешь? Согласись, этот способ решения намного легче, чем предыдущий, и даже легче, чем искать корни через дискриминант!

А если так, попробуй данным способом решить следующее уравнение.

2x2−5x+3=0

Что у тебя получилось? Сравним наши графики:

y1=2x2
y2=5x−3

По графикам видно, что ответами являются:

x1=1

x2=1,5

Справился? Молодец!

Тест "Квадратные уравнения"

ИГРА

ИГРА 2

Тест 1 "Теорема Виета"

Тест 2 "Теорема Виета"

Проверь себя

Кроссворд

Квадратичная функция

Свойства и график функции Y=k\x

Учебник (стр.204-214)https://drive.google.com/open?id=1oy31AoWGv52ICO3olW-hSjSX0ta8vwdZ

Графиком функции является гипербола

Определение

Функцию видаY=k\x ,

y = \frac{k}{x}

где

k

— некоторое не равное нулю число, называют обратной пропорциональностью. Число

k

k называется коэффициентом обратной пропорциональности.

Так как делить на нуль нельзя, то областью определения функции

y = \frac{k}{x}

являются все числа, отличные от нуля.

Свойства и график функции Y = x³

(Учебник (стр.214-219)https://drive.google.com/open?id=1oy31AoWGv52ICO3olW-hSjSX0ta8vwdZ

Графиком функции является кубическая парабола

Свойства и график функции Y =|x|

(Учебник (стр.219-224)https://drive.google.com/open?id=1oy31AoWGv52ICO3olW-hSjSX0ta8vwdZ

Свойства и график функции

(Учебник (стр.224-233)https://drive.google.com/open?id=1oy31AoWGv52ICO3olW-hSjSX0ta8vwdZ

Один из частных случаев степенной функции. Эта функция не имеет своего собственного имени (в отличие от квадратичной функции или кубической функции) и называется просто формулой. График функции y равен корню из x — ветвь параболы.

Для построения графика возьмём несколько точек. Так как под знаком квадратного корня могут стоять только неотрицательные числа, значения аргумента должны бить неотрицательными. Для удобства вычислений берём x, квадратные корни из которых — целые числа